Numbrilised vahelduvad seeriad. Vahelduvad jadad, absoluutne ja tingimuslik lähenemine. Funktsionaalne seeria. Funktsionaalrea lähenemispiirkond

Definitsioon 1

Arvurida $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, mille liikmetel on suvalised märgid (+), (?), nimetatakse vahelduvaks jadaks.

Eespool käsitletud vahelduvad seeriad on vahelduvate seeriate erijuhtum; On selge, et iga vahelduv seeria ei ole vahelduv. Näiteks seeria $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ vahelduv, kuid mitte vahelduv seeria.

Pange tähele, et vahelduvas jadas on lõpmatult palju termineid, millel on nii märk (+) kui ka märk (-). Kui see ei vasta tõele, näiteks seeria sisaldab lõplikku arvu negatiivseid liikmeid, siis võib need kõrvale jätta ja vaadelda ainult positiivsetest liikmetest koosnevat seeriat ja vastupidi.

2. definitsioon

Kui arvuseeria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ koondub ja selle summa on võrdne S-ga ja osasumma on võrdne $S_n$ , siis $r_(n ) =S-S_( n) $ nimetatakse seeria ülejäänud osaks ja $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_(n) =\mathop(\lim )\limits_(n\ kuni \infty ) (S-S_(n ))=S-S=0$, st. konvergentse rea ülejäänud osa kipub olema 0.

3. määratlus

Seeriat $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ nimetatakse absoluutselt konvergentseks, kui seeria, mis koosneb selle liikmete $\sum \limits _(n=1) absoluutväärtustest )^(\ infty )\left|u_(n) \right| $.

4. määratlus

Kui arvuseeria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ koondub ja seeria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_ (n )\paremale| $, mis koosneb selle liikmete absoluutväärtustest, lahkneb, siis nimetatakse algset seeriat tingimuslikult (mitte-absoluutselt) koonduvaks.

Teoreem 1 (piisav kriteerium vahelduvate ridade konvergentsi jaoks)

Vahelduv jada $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ läheneb ja absoluutselt, kui selle liikmete absoluutväärtustest koosnev jada läheneb $\sum \limits _( n=1)^ (\infty )\left|u_(n) \right| $.

kommenteerida

1. teoreem annab vaid piisava tingimuse vahelduvate ridade koondumiseks. Pöördteoreem ei vasta tõele, s.t. kui vahelduv seeria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ koondub, siis ei ole vaja, et moodulitest $\sum \limits _(n=1) koosnev jada ^( \infty )\left|u_(n) \right| $ (see võib olla kas koonduv või lahknev). Näiteks seeria $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ koondub Leibnizi kriteeriumi järgi ja selle liikmete absoluutväärtustest koosnev jada $\sum \limits _(n=1 )^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (harmoonilised jada) lahkneb.

Vara 1

Kui seeria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ on absoluutselt konvergentne, siis koondub see absoluutselt oma tingimuste mis tahes permutatsiooni korral ja seeria summa ei sõltu tingimuste järjekord. Kui $S"$ on kõigi selle positiivsete liikmete summa ja $S""$ on negatiivsete liikmete absoluutväärtuste summa, siis seeria $\sum \limits _(n=1) summa ^(\infty )u_(n) $ võrdub $S=S"-S""$.

Vara 2

Kui seeria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ on absoluutselt konvergentne ja $C=(\rm const)$, siis seeria $\sum \limits _(n= 1)^ (\infty )C\cdot u_(n) $ on samuti absoluutselt konvergentne.

Vara 3

Kui seeriad $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ ja $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ on absoluutselt koonduvad, siis on ka seeria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ absoluutselt koonduvad.

Omadus 4 (Riemanni teoreem)

Kui seeria on tinglikult koonduv, siis olenemata sellest, millise arvu A me võtame, saame selle jada liikmed ümber paigutada nii, et selle summa osutub täpselt võrdseks A-ga; Lisaks on võimalik tinglikult koonduva jada tingimusi ümber korraldada nii, et pärast seda see lahkneb.

Näide 1

Uurige seeriat tingimusliku ja absoluutse konvergentsi suhtes

\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}

Lahendus. See seeria on vahelduv, mille üldterminit tähistatakse järgmisega: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}

Näide 2

Uurige seeriat $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ absoluutse ja tingimusliku konvergentsi jaoks.

1. Uurime seeriat absoluutse konvergentsi jaoks. Tähistame $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ ja koostame absoluutväärtuste jada>$a_(n) =\ vasak|u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Saame seeria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ positiivsete terminitega, millele rakendame seeriate võrdlemise piirtesti. Võrdluseks seeriaga $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) )(n+1) $ vaatleme seeriat, mille kuju on $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^( \infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. See seeria on Dirichlet' seeria eksponendiga $p=\frac(1)(2)
2. Järgmisena uurime algseeriat $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ tingimuslikuks lähenemine. Selleks kontrollime Leibnizi testi tingimuste täitmist. Tingimus 1: $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, kus $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , st. see seeria on vahelduv. Tingimuse 2) kontrollimiseks seeria liikmete monotoonse vähenemise kohta kasutame järgmist meetodit. Vaatleme abifunktsiooni $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $, mis on defineeritud punktis $x\in:

   f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x) … f n (x), ….

   Võttes need funktsioonid seeria liikmeteks, moodustame seeria:

   f 1 (x) + f 2 (x) + f 3 (x) + … + f n (x) + …, (1)

   mida nimetatakse funktsionaalne vahemik.

   Näiteks: sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + … + sin(nx) + …

   Konkreetsel juhul on funktsionaalne seeria seeria:

   mida nimetatakse jõuseeria, Kus
   kutsutakse konstantseid numbreid astmerea liikmete koefitsiendid.

   Võimseeria saab kirjutada ka järgmisel kujul:

   Kus
   mingi konstantne arv.

   Teatud fikseeritud või numbrilise väärtusega x saame arvurea, mis võib olla koonduv või lahknev.

   Definitsioon : Kõikide väärtuste komplekt X(või kõik punktid X numbririda), mille puhul astmerida koondub astmeridade konvergentsi piirkond.

   Näide 1.

   Leidke astmeridade lähenemispiirkond:

   Lahendus (üks suund).

   Rakendame d'Alemberti testi.

   
   

   

   Kuna d'Alemberti test on rakendatav ainult seeriatele positiivsed liikmed, siis võetakse piirmärgi all olev avaldis absoluutväärtuses.

   D'Alemberti testi järgi koondub jada, kui
   Ja
   .

   Need. seeria koondub, kui < 1, откуда
   või -3< x<3.

   

   Saame selle astmerea konvergentsi intervalli: (-3;3).

   Intervalli äärmuslikes punktides x =
   , saab
   .

   Sel juhul ei vasta d'Alemberti teoreem ridade konvergentsi küsimusele.

   Uurime seeriat piiripunktide lähenemiseks:

   x = -3,

   Saame vahelduva seeria märgi. Uurime seda lähenemise osas Leibnizi kriteeriumi abil:

   1.
   rea liikmed absoluutväärtuses vähenevad monotoonselt.

   2.
   Seetõttu koondub seeria punktis x = -3.

   x = 3,

   Saame positiivse seeria. Kasutame ridade konvergentsi jaoks integraalset Cauchy testi.

   seeria tingimused vähenevad monotoonselt.

   Funktsioon
   vahel
   :

   
   

   .

   Vale integraal lahkneb, mis tähendab, et jada punktis x=3 lahkneb.

   Vastus:

   Teine viis astmerea lähenemispiirkonna määramine põhineb astmerea lähenemisraadiuse valemi rakendamisel:

   , Kus Ja
   koefitsiendid Ja
   sarja liikmed.

   Selle sarja jaoks on meil:
   

   . R=3.

   

   seeria koondub

   Seeria konvergentsi intervall: -3< x<3.

   Järgmisena, nagu ka eelmisel juhul, peame uurima piiripunkte: x =
   .

   Vastus: seeria [-3;3] konvergentsi piirkond.

   Pange tähele, et et teine ​​viis astmerea lähenemispiirkonna määramiseks on kasutada jada lähenemisraadiuse valemit
   ratsionaalsem.

   Näide 2.

   Leidke astmeridade lähenemispiirkond:
   .

   Me leiame R– ridade lähenemisraadius.

   ,
   ,
   .

   .
   .

   Seeria konvergentsi intervall (- ;).

   Uurime seeriat punktide lähenemise suhtes x = -Ja x = .

   x = - ,

   Saame vahelduva seeria märgi. Rakendame Leibnizi testi:

   1.
   rea liikmed absoluutväärtuses vähenevad monotoonselt.

   2.
   seega jada punktis x = - koondub.

   x = ,
   .

   Saime positiivsete liikmetega tüli. Kasutame integraalset Cauchy testi.

   Siin
   :

   , sarja liikmed
   väheneb monotoonselt.

   Funktsioon
   vahel
   :

   
   

   .

   Vale integraal lahkneb, seeria lahkneb.

   Vastus: [-;) – seeria konvergentsi piirkond.

   Definitsioon 1

   Arvurida $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, mille liikmetel on suvalised märgid (+), (?), nimetatakse vahelduvaks jadaks.

   Eespool käsitletud vahelduvad seeriad on vahelduvate seeriate erijuhtum; On selge, et iga vahelduv seeria ei ole vahelduv. Näiteks seeria $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ vahelduv, kuid mitte vahelduv seeria.

   Pange tähele, et vahelduvas jadas on lõpmatult palju termineid, millel on nii märk (+) kui ka märk (-). Kui see ei vasta tõele, näiteks seeria sisaldab lõplikku arvu negatiivseid liikmeid, siis võib need kõrvale jätta ja vaadelda ainult positiivsetest liikmetest koosnevat seeriat ja vastupidi.

   2. definitsioon

   Kui arvuseeria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ koondub ja selle summa on võrdne S-ga ja osasumma on võrdne $S_n$ , siis $r_(n ) =S-S_( n) $ nimetatakse seeria ülejäänud osaks ja $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_(n) =\mathop(\lim )\limits_(n\ kuni \infty ) (S-S_(n ))=S-S=0$, st. konvergentse rea ülejäänud osa kipub olema 0.

   3. määratlus

   Seeriat $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ nimetatakse absoluutselt konvergentseks, kui seeria, mis koosneb selle liikmete $\sum \limits _(n=1) absoluutväärtustest )^(\ infty )\left|u_(n) \right| $.

   4. määratlus

   Kui arvuseeria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ koondub ja seeria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_ (n )\paremale| $, mis koosneb selle liikmete absoluutväärtustest, lahkneb, siis nimetatakse algset seeriat tingimuslikult (mitte-absoluutselt) koonduvaks.

   Teoreem 1 (piisav kriteerium vahelduvate ridade konvergentsi jaoks)

   Vahelduv jada $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ läheneb ja absoluutselt, kui selle liikmete absoluutväärtustest koosnev jada läheneb $\sum \limits _( n=1)^ (\infty )\left|u_(n) \right| $.

   kommenteerida

   1. teoreem annab vaid piisava tingimuse vahelduvate ridade koondumiseks. Pöördteoreem ei vasta tõele, s.t. kui vahelduv seeria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ koondub, siis ei ole vaja, et moodulitest $\sum \limits _(n=1) koosnev jada ^( \infty )\left|u_(n) \right| $ (see võib olla kas koonduv või lahknev). Näiteks seeria $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ koondub Leibnizi kriteeriumi järgi ja selle liikmete absoluutväärtustest koosnev jada $\sum \limits _(n=1 )^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (harmoonilised jada) lahkneb.

   Vara 1

   Kui seeria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ on absoluutselt konvergentne, siis koondub see absoluutselt oma tingimuste mis tahes permutatsiooni korral ja seeria summa ei sõltu tingimuste järjekord. Kui $S"$ on kõigi selle positiivsete liikmete summa ja $S""$ on negatiivsete liikmete absoluutväärtuste summa, siis seeria $\sum \limits _(n=1) summa ^(\infty )u_(n) $ võrdub $S=S"-S""$.

   Vara 2

   Kui seeria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ on absoluutselt konvergentne ja $C=(\rm const)$, siis seeria $\sum \limits _(n= 1)^ (\infty )C\cdot u_(n) $ on samuti absoluutselt konvergentne.

   Vara 3

   Kui seeriad $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ ja $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ on absoluutselt koonduvad, siis on ka seeria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ absoluutselt koonduvad.

   Omadus 4 (Riemanni teoreem)

   Kui seeria on tinglikult koonduv, siis olenemata sellest, millise arvu A me võtame, saame selle jada liikmed ümber paigutada nii, et selle summa osutub täpselt võrdseks A-ga; Lisaks on võimalik tinglikult koonduva jada tingimusi ümber korraldada nii, et pärast seda see lahkneb.

   Näide 1

   Uurige seeriat tingimusliku ja absoluutse konvergentsi suhtes

   \[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}

   Lahendus. See seeria on vahelduv, mille üldterminit tähistatakse järgmisega: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}

   Näide 2

   Uurige seeriat $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ absoluutse ja tingimusliku konvergentsi jaoks.

   1. Uurime seeriat absoluutse konvergentsi jaoks. Tähistame $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ ja koostame absoluutväärtuste jada>$a_(n) =\ vasak|u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Saame seeria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ positiivsete terminitega, millele rakendame seeriate võrdlemise piirtesti. Võrdluseks seeriaga $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) )(n+1) $ vaatleme seeriat, mille kuju on $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^( \infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. See seeria on Dirichlet' seeria eksponendiga $p=\frac(1)(2)
   2. Järgmisena uurime algseeriat $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ tingimuslikuks lähenemine. Selleks kontrollime Leibnizi testi tingimuste täitmist. Tingimus 1: $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, kus $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , st. see seeria on vahelduv. Tingimuse 2) kontrollimiseks seeria liikmete monotoonse vähenemise kohta kasutame järgmist meetodit. Vaatleme abifunktsiooni $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $, mis on defineeritud punktis $x\in )