Volumetrik energiya zichligi formulasi. Elektrostatik maydonning hajmli energiya zichligi. Magnit maydonning namoyon bo'lishi

Faraz qilaylik, bir vaqtning o'zida kondansatördagi kuchlanish teng bo'ladi va. Kondensatordagi kuchlanish ga oshirilganda du kondansatkichning plastinalaridan biridagi zaryad ga ortadi dQ, va boshqa tomondan - -dQ, dQ-C du, bu erda C - kondansatkichning sig'imi.

To'lovni o'tkazish uchun dQ energiya manbai ish qilishi kerak va dQ = C va du, kondansatkichda elektr maydonini yaratishga sarflanadi.

Kondensator kuchlanishdan zaryadlanganda manba tomonidan etkazib beriladigan energiya va= 0 kuchlanishgacha u = U va kondansatkichning elektr maydonining energiyasiga aylantirilgani tengdir

Keling, elektr maydonining hajm energiyasining zichligi haqidagi savolni ko'rib chiqaylik. Buning uchun tekis kondensatorni oling va uning plitalari orasidagi masofa teng deb hisoblang X, va bir tomondan har bir plastinkaning maydoni teng S. Plitalar orasidagi muhitning dielektrik o'tkazuvchanligi e a. Plitalar orasidagi kuchlanish U Keling, plitalar orasidagi maydonga kondansatkichning chekkalarini buzuvchi ta'sirini e'tiborsiz qoldiraylik. Bunday sharoitda maydonni bir xil deb hisoblash mumkin. Elektr maydon kuchi moduli: E = U/x. Elektr induksiya vektor moduli: ?> = e, E-QIS. Yassi kondansatkichning sig'imi C \u003d e. olti. Elektr maydonining hajmli energiya zichligini topish uchun energiyani ajratamiz V\u003d C? / 2/2 * e a S(J 2 /(2x) hajmi bo'yicha Y \u003d S x, dala tomonidan "ishg'ol qilingan". Oling U, 1U \u003d g w E 2 12 \u003d E 0/2.

Shunday qilib, elektr maydonining hajmli energiya zichligi e a ga teng E 2 12. Agar maydon bir xil bo'lmasa, u holda maydonning bir nuqtasidan ikkinchisiga o'tishda intensivlik o'zgaradi, lekin maydonning hajm energiya zichligi baribir e ga teng bo'ladi, E 2 12, chunki cheksiz kichik hajmda maydonni bir xil deb hisoblash mumkin

Maydonda elementar tovushni tanlang dV. Bu hajmdagi energiya (e a E l l2)dV. Hajm tarkibidagi energiya Da har qanday o'lcham, teng | e a E 2 l2dV. elektrda

zaryadlangan jismlar orasidagi maydon, mexanik kuchlar harakat qiladi va ular o'zgaruvchan koordinataga nisbatan maydon energiyasining hosilasi sifatida ifodalanishi mumkin. 19.24, b kuchlanish manbaiga ulangan tekis kondansatör ko'rsatilgan U. Avvalgisiga muvofiq, biz plitalar orasidagi masofani chaqiramiz X, va plastinkaning maydoni S. Ushbu kuchlarning ta'siri ostida kondansatkichning plitalari bir-biriga yaqinlashadi. Pastki plastinkaga ta'sir qiluvchi kuch yuqoriga, yuqori plastinkada - pastga yo'naltiriladi.

Faraz qilaylik, kuch ta'sirida F pastki plastinka asta-sekin (nazariy jihatdan cheksiz sekin) masofaga ko'tarildi dx va rasmda nuqta chiziq bilan ko'rsatilgan pozitsiyani egalladi. 19.24, b. Plitalarning bunday siljishi bilan energiya balansi tenglamasini tuzamiz. Energiyaning saqlanish qonuniga asoslanib, energiya manbai tomonidan etkazib beriladigan energiya dW H uch hadning yig'indisiga teng bo'lishi kerak: 1) kuchning ishi F masofada dx, 2) kondansatkichning elektr maydoni energiyasining o'zgarishi dw, 3) oqimdan termal yo'qotishlar men t bu qarshilik bilan simlar orqali oqadi R 0 dan "gacha bo'lgan vaqt ichida:

Umumiy holatda, plastinka ko'chirilganda, plitalar orasidagi kuchlanish ham o'zgarishi mumkin u, va zaryadlang Q.

Keling, kondansatör plitasining siljishining ikkita xarakterli maxsus holatini ko'rib chiqaylik. Birinchisida, kondansatör kuchlanish manbasidan uziladi va plastinka plitalar ustida doimiy zaryadlar bilan harakat qiladi. Ikkinchisida plastinka doimiy voltajda harakat qiladi U plitalar orasidagi (kondensator doimiy kuchlanish manbaiga ulangan U).

Birinchi holat. Kondensator energiya manbaidan uzilganligi sababli, ikkinchisi energiyani etkazib bermaydi va shuning uchun dW^ - 0. Qayerda F^-dW^ldx.

Shunday qilib, plastinkaga ta'sir qiluvchi kuch qarama-qarshi belgi bilan olingan o'zgaruvchan koordinataga nisbatan kondansatkichning elektr maydoni energiyasining hosilasiga teng bo'ladi. Minus belgisi ko'rib chiqilayotgan holatda kuchning ishi kondensatorning elektr maydonida energiya yo'qolishi tufayli ishlab chiqarilganligini ko'rsatadi.

Kondensatorning elektr maydonining energiyasini hisobga olsak W ^ \u003d Q 2! (2C) \u003d= Q 2 x/(2 5 bilan), keyin kuch moduli F teng dW y Idx = 1-savol/(2 e t 5) = e, E 2 S/2.

Ikkinchi holat. Elektr ta'minoti tomonidan etkazib beriladigan energiya U- har bir to'lov o'sishi const hisoblanadi dV H \u003d U dQ \u003d U 2 dC. qayerda DC- plitalar orasidagi masofaning qisqarishi natijasida yuzaga keladigan sig'imning oshishi dx.

Kondensatorning elektr maydoni energiyasining o'zgarishi dW,=d(CU 2 /2) = (/ 2 dCI2. Farq dW H -dW =U 2 dC-U 1 dC!2-dW,. Shuning uchun, ikkinchi holatda

Shunday qilib, ikkinchi holatda, kuch o'zgaruvchan koordinataga nisbatan elektr maydonining energiyasining hosilasiga teng bo'ladi.

Imkoniyat C=e t 5/jr, shuning uchun

Ikkinchi holatda kondensator plastinkasiga ta'sir qiluvchi kuch birinchi holatda kondensator plastinkasiga ta'sir qiluvchi kuchga teng. Kondensatorning birlik yuzasiga ta'sir qiluvchi kuch F!S-z b E 2 12. Shuni ta'kidlaymizki, qiymat E 2 12 nafaqat elektr maydonining energiya zichligini ifodalaydi, balki son jihatdan kondansatör plastinkasining birlik yuzasiga ta'sir qiluvchi kuchga tengdir. Kondensator plitalariga ta'sir qiluvchi kuchlar uzunlamasına siqish kuchlarining (kuch quvurlari bo'ylab) va lateral kengayish kuchlarining (kuch quvurlari bo'ylab) namoyon bo'lishi natijasida ko'rib chiqilishi mumkin. Uzunlamasına siqish kuchlari quvvat trubkasini qisqartirishga moyil bo'lib, lateral siqish kuchlari surish- kengaytiring. birlik uchun quvvat trubasining yon yuzasiga son jihatdan teng kuch ta'sir qiladi e w E 2 12. Bu kuchlar nafaqat kondansatör plitalariga ta'sir qiluvchi kuchlar sifatida, balki ikkita dielektrik orasidagi interfeysdagi kuchlar sifatida ham namoyon bo'ladi. Bunday holda, interfeysda pastroq o'tkazuvchanlikka ega bo'lgan dielektrik tomon yo'naltirilgan kuch ta'sir qiladi.

Yassi kondansatörning elektr energiyasi uning plitalari orasidagi maydon kuchi bilan ifodalanishi mumkin:

qayerda
- maydon egallagan joy miqdori, S- qoplamalar maydoni, d ular orasidagi masofa hisoblanadi. Ma'lum bo'lishicha, zaryadlangan o'tkazgichlar va dielektriklarning ixtiyoriy tizimining elektr energiyasi kuchlanish orqali ifodalanishi mumkin:

, (5)

,

va integratsiya maydon egallagan butun fazoda amalga oshiriladi (dielektrik izotrop va
). Qiymat w- hajm birligiga to'g'ri keladigan elektr energiyasi. Formula (5) shakli elektr energiyasi o'zaro ta'sir qiluvchi zaryadlarda emas, balki ularning bo'shliqni to'ldiradigan elektr maydonida mavjud deb taxmin qilishga asos beradi. Elektrostatika doirasida bu taxminni eksperimental tekshirish yoki nazariy jihatdan asoslab bo'lmaydi, ammo o'zgaruvchan elektr va magnit maydonlarni hisobga olish (5) formulaning bunday maydon talqinining to'g'riligini tekshirishga imkon beradi.

7. Elektr maydonining energiyasi (Masala yechish misollari) Zaryadlarning o'zaro ta'sir energiyasi

1-misol

Yon tomonlari bo'lgan kvadratning uchlarida joylashgan nuqta zaryadlarining o'zaro ta'sirining elektr energiyasini aniqlang. a(2-rasmga qarang).

Yechim.

3-rasmda zaryadlarning barcha juftlik o'zaro ta'siri shartli ravishda ikki tomonlama o'qlar bilan tasvirlangan. Ushbu o'zaro ta'sirlarning energiyalarini hisobga olgan holda biz quyidagilarni olamiz:

.

2-misol

4-rasmda ko'rsatilganidek, zaryadlangan halqaning o'z o'qida joylashgan dipol bilan o'zaro ta'sirining elektr energiyasini aniqlang. Ma'lum masofalar a, l, to'lovlar Q, q va halqa radiusi R.

Yechim.

Muammoni hal qilishda bir jismning (halqaning) zaryadlarining boshqa jismning (dipol) zaryadlari bilan juft o'zaro ta'sirining barcha energiyalarini hisobga olish kerak. Nuqtaviy zaryadning o'zaro ta'sir energiyasi q zaryad bilan Q halqa bo'ylab taqsimlangan summa bilan aniqlanadi

,

qayerda
- uzukning cheksiz kichik bo'lagining zaryadi, - bu bo'lakdan zaryadgacha bo'lgan masofa q. Hamma narsadan beri bir xil va teng
, keyin

Xuddi shunday, biz nuqta zaryadining o'zaro ta'sir energiyasini topamiz - q zaryadlangan uzuk bilan:

Xulosa qilish V 1 va V 2, biz halqaning dipol bilan o'zaro ta'sir qilish energiyasini olamiz:

.

Zaryadlangan o'tkazgichlarning elektr energiyasi

3-misol

Bir tekis zaryadlangan sharning radiusi 2 marta kamaytirilganda elektr kuchlarining ishini aniqlang. shar zaryadi q, uning dastlabki radiusi R.

Yechim.

Yakka o'tkazgichning elektr energiyasi formula bilan aniqlanadi
, qayerda q- o'tkazgichning zaryadi,  - uning potensiali. Bir tekis zaryadlangan radiusli sharning potentsialini hisobga olgan holda R teng
, uning elektr energiyasini toping:

.

Sfera radiusini yarmiga bo'lgandan keyin uning energiyasi teng bo'ladi

.

Elektr kuchlari ishlaydi

.

4-misol

Radiuslari bo'lgan ikkita metall shar r va 2 r, va mos keladigan to'lovlar 2 ga teng q va - q, vakuumda bir-biridan katta masofada joylashgan. Agar sharlar ingichka sim bilan ulangan bo'lsa, tizimning elektr energiyasi necha marta kamayadi?

Yechim.

To'plarni ingichka sim bilan ulagandan so'ng, ularning potentsiallari bir xil bo'ladi

,

va to'plarning barqaror zaryadlari Q 1 va Q 2 zaryadning bir to'pdan ikkinchisiga o'tishi natijasida olinadi. Bunday holda, to'plarning umumiy zaryadi doimiy bo'lib qoladi:

.

Ushbu tenglamalardan topamiz

,
.

To'plarning energiyasi ularni sim bilan ulashdan oldin tengdir

,

va ulangandan keyin

.

Oxirgi ifodadagi qiymatlarni almashtirish Q 1 va Q 2, biz oddiy o'zgarishlardan keyin olamiz

.

5-misol

Bir to'pga birlashtirilgan N\u003d 8 ta bir xil simob sharlari, ularning har birining zaryadi q. Dastlabki holatda simob to'plari bir-biridan juda uzoqda bo'lgan deb faraz qilsak, tizimning elektr energiyasi necha marta ko'payganligini aniqlang.

Yechim.

Simob sharlari birlashganda ularning umumiy zaryadi va hajmi saqlanib qoladi:

,

qayerda Q- to'pning zaryadi, R uning radiusi, r har bir kichik simob sharining radiusi. Umumiy elektr energiyasi N yolg'iz to'plar soniga teng

.

Birlashish natijasida olingan to'pning elektr energiyasi

.

Algebraik o'zgarishlardan keyin biz olamiz

= 4.

6-misol

metall shar radiusi R= 1 mm va zaryadlang q= 0,1 nC katta masofadan turib, ular sekin zaryadsiz o'tkazgichga yaqinlashadilar va to'pning potentsiali  \u003d 450 V ga teng bo'lganda to'xtaydilar. Buning uchun qanday ish qilish kerak?

Yechim.

Ikkita zaryadlangan o'tkazgichli tizimning elektr energiyasi formula bilan aniqlanadi

,

qayerda q 1 va q 2 - o'tkazgichlarning zaryadlari,  1 va  2 - ularning potentsiallari. Supero'tkazuvchilar muammoning holatiga ko'ra zaryadlanmaganligi sababli, keyin

,

qayerda q To'pning 1 va  1 zaryadi va potensiali. To'p va zaryadsiz o'tkazgich bir-biridan juda uzoq masofada joylashganida,

,

va tizimning elektr energiyasi

.

Tizimning yakuniy holatida, to'pning potentsiali  ga teng bo'lganda, tizimning elektr energiyasi:

.

Tashqi kuchlarning ishi elektr energiyasining o'sishiga teng:

= -0,0225 mkJ.

E'tibor bering, tizimning yakuniy holatidagi elektr maydoni o'tkazgichda induktsiya qilingan zaryadlar, shuningdek, metall sharning yuzasida bir xil bo'lmagan taqsimlangan zaryadlar tomonidan yaratiladi. Ushbu maydonni o'tkazgichning ma'lum geometriyasi va metall to'pning ma'lum bir pozitsiyasi bilan hisoblash juda qiyin. Biz buni qilishimiz shart emas edi, chunki muammo tizimning geometrik konfiguratsiyasini emas, balki yakuniy holatdagi to'pning potentsialini belgilaydi.

Misol 7 .

Tizim radiusli ikkita konsentrik yupqa metall qobiqdan iborat R 1 va R 2 (
va tegishli to'lovlar q 1 va q 2. Elektr energiyasini toping V tizimlari. Qayerda maxsus holatni ham ko'rib chiqing
.

Yechim.

Ikkita zaryadlangan o'tkazgichli tizimning elektr energiyasi formula bilan aniqlanadi

.

Masalani yechish uchun ichki ( 1) va tashqi ( 2) sferalarning potensiallarini topish kerak. Buni qilish qiyin emas (qo'llanmaning tegishli bo'limiga qarang):

,
.

Ushbu ifodalarni energiya formulasiga almashtirib, biz hosil bo'lamiz

.

Da
energiya hisoblanadi

.

Haqiqiy qiymatlar bo'lsa, elektromagnit maydonning hajmli energiya zichligi quyidagi ifoda bilan aniqlanadi:

Agar vektorlarni va murakkab komponentli vektorlar sifatida ko'rib chiqsak, elektromagnit maydonning hajmli energiya zichligi uchun haqiqiy ifodani olish uchun yuqorida tavsiflangan usuldan foydalanish kerak:

Ifoda (8) kosmosda ko'rib chiqilayotgan nuqtada elektromagnit energiyaning hajmli zichligining "oniy" qiymatini aniqlaydi, ya'ni. bir vaqtning o'zida qiymat t. Bog'liqlik (8) amalda haqiqiy qiymatlar kvadratlarining yig'indisi va shuning uchun ijobiy aniq bog'liqlikdir. Uning raqamli qiymatlari noldan maksimal qiymatgacha o'zgarishi mumkin. Tekis to'lqinning elektromagnit maydonining hajmli energiya zichligining vaqt bo'yicha o'rtacha qiymatini hisoblash qiziqish uyg'otadi. Vaqt bo'yicha o'rtacha jismoniy miqdor qoida bilan aniqlanadi:

. (9)

Vaqt bo'yicha harmonik bo'lgan jarayonlar uchun qiymat tebranish davriga teng, mos yozuvlar nuqtasi esa nolga teng tanlanadi.

Quyidagi munosabatlar mavjudligini ko'rish oson:

;

; (10)

.

Xuddi shunday natijalar magnit maydon kuchi vektorlari uchun ham amal qiladi.

Olingan natijalarni hisobga olgan holda, kosmosdagi ko'rib chiqilayotgan nuqtada elektromagnit maydonning hajmli energiya zichligining vaqt bo'yicha o'rtacha qiymati bog'liqlik bilan tavsiflanishi mumkin.

Ifoda (11) mahalliy, real va ijobiy aniqlovchidir. Uning yordamida siz ma'lum bir fazodagi elektromagnit maydon energiyasini hisoblashingiz mumkin:

, (12)

bu erda elektr maydonining energiyasi va magnit maydonning energiyasi munosabatlar bilan belgilanadi

, . (13)

(13) munosabatlardagi integratsiya kosmosning ko'rib chiqilayotgan hududi hajmi bo'yicha amalga oshiriladi. Ushbu iboralar quyida muvozanat energiya nisbatlarini tahlil qilishda qo'llaniladi.

Umov-Poynting vektori.

Elektromagnit maydonning energiya oqimining zichligi, ma'lumki, ifoda bilan aniqlanadi

Agar kompleks amplitudalar usuli natijalaridan foydalanish zarur bo'lsa, vektor uchun haqiqiy (real) ifoda quyidagicha yoziladi:

(15) ga nisbatan vektor mahsulotlarini baholab, biz quyidagilarni olamiz:

;

.

.

Energiya oqimi zichligi vektorining oniy qiymatiga (15) bog'liqlikni vaqtni o'rtacha hisoblash natijasida biz quyidagi munosabatga erishamiz:

. (16)

Shunday qilib, haqiqiy komponentlarga ega bo'lgan vaqt doimiy vektor miqdori olinadi. Qizig'i shundaki, rasmiy ravishda - hosil bo'lgan ifoda murakkab ifodaning haqiqiy qismidir

Bu "murakkab Umov-Poynting vektori" ni hisobga olish imkoniyatini keltirib chiqaradi:

. (18)

Bunday texnikaning maqsadga muvofiqligini asoslash nisbati hisoblanadi:

(19) munosabatning jismoniy mazmuni shundan iboratki, elektromagnit maydon energiya oqimi zichligi vektorining garmonik yaqinlashuvdagi o'rtacha vaqtini (haqiqiy doimiy vektor miqdori!) Umov-Poynting vektor kompleksining haqiqiy qismi sifatida hisoblash mumkin.

Volumetrik quvvat zichligi.

Haqiqiy qiymatlar uchun hajmli quvvat zichligi ifoda bilan hisoblanadi

Ifoda (20) - ikkita garmonik miqdorning mahsuloti - chiziqli emas, shuning uchun murakkab amplitudalar usulida haqiqiy qiymatni olish uchun quyidagi munosabatlardan chiqish kerak:

Bog'liqlik (21) vaqtning o'zboshimchalik nuqtasida volumetrik quvvat zichligining haqiqiy (haqiqiy) qiymatini aniqlaydi. Ko'rib chiqilayotgan miqdor vaqt o'tishi bilan tebranayotganligi sababli, biz hajmiy quvvat zichligining vaqt bo'yicha o'rtacha qiymatini yuqorida hajmiy energiya zichligini ko'rib chiqishda bajarilgan tarzda kiritishimiz mumkin:

Ifodaning tahlili (22) kompleks quvvat zichligini kiritish mumkinligini ko'rsatadi

chunki munosabatni tekshirish oson

. (24)

Endi biz bir hil bo'lmagan tekislikdagi elektromagnit garmonik to'lqindagi muvozanat energiya munosabatlarini ko'rib chiqishni boshlashimiz mumkin.

Poynting teoremasining murakkab analogi.

Maksvell tenglamalari - elektromagnit induksiya tenglamasi va differensial shakldagi umumiy oqim tenglamasi - biz garmonik yaqinlashish yordamida yozamiz:

E'tibor bering, (25)-(26) tenglamalar garmonik miqdorlarning vaqtga bog'liqlik shakli (6) munosabatlari bilan aniqlansa, haqiqiy hisoblanadi.

Agar , demak bor , chunki birinchi tenglama va ni nazarda tutadi. Boshqacha qilib aytganda, agar chiziqli tenglama murakkab miqdor uchun o'rinli bo'lsa, unda kompleks konjugat tenglama ham o'rinli bo'ladi. Keling, ushbu matematik bayonotdan foydalanamiz va (26) tenglamani murakkab konjugat shaklida yozamiz:

(25) tenglamani skalyar tarzda vektorga, (27) tenglamani vektorga ko'paytiramiz:

(28) tenglamadan (29) tenglamani ayiring:

(30) tenglamaning chap tomonini o'zgartirish mumkin:

Asosan, bu erda taniqli vektor identifikatori qo'llaniladi, uni Dekart koordinatalari tizimida to'g'ridan-to'g'ri hisoblash yo'li bilan tekshirish mumkin yoki siz "nabla" (yoki Gamilton operatori) differensial vektor operatorining ramziy usuli va ta'rifidan foydalanishingiz mumkin. . Keling, ushbu usulni ko'rsatamiz. Ikki vektor maydonining vektor mahsulotining farqini ko'rib chiqing:

.

Belgilanishdan oddiy vektor kattalik sifatida foydalanish imkoniyatiga ega bo'lish uchun nabla operatorining differentsial xususiyatini hisobga olgan holda oldingi munosabatni qayta yozamiz:

bu erda "c" indeksi shartli o'zgarmas qiymatlarni belgilaydi, ular differentsial operatorning belgisi uchun "chiqarilishi" mumkin. Endi olingan ifodani oddiygina uchta vektorning ikkita aralash mahsuloti yig'indisi sifatida ko'rib chiqish mumkin. Ma'lumki, uchta vektorning aralash mahsulotini bir nechta ekvivalent shakllarda yozish mumkin. Biz "vektor" eng o'ng holatda qolmasligi uchun shaklni tanlashimiz kerak: differentsial operator sifatida u biror narsaga ta'sir qilishi kerak.

Agar o'tkazgich tashqi elektrostatik maydonga joylashtirilsa, u holda u harakatlana boshlaydigan zaryadlari bo'yicha harakat qiladi. Bu jarayon juda tez davom etadi, u tugagandan so'ng zaryadlarning muvozanat taqsimoti o'rnatiladi, bunda o'tkazgich ichidagi elektrostatik maydon nolga teng bo'ladi. Boshqa tomondan, o'tkazgich ichidagi maydonning yo'qligi o'tkazgichning har qanday nuqtasida bir xil potentsial qiymatni ko'rsatadi, shuningdek, o'tkazgichning tashqi yuzasida maydon kuchi vektori unga perpendikulyar. Agar bunday bo'lmasa, o'tkazgich yuzasiga tangensial yo'naltirilgan intensivlik vektorining komponenti paydo bo'ladi, bu zaryadlarning harakatiga olib keladi va zaryadlarning muvozanat taqsimoti buziladi.

Agar biz elektrostatik maydonda joylashgan o'tkazgichni zaryad qilsak, u holda uning zaryadlari faqat tashqi yuzada joylashgan bo'ladi, chunki Gauss teoremasiga muvofiq, o'tkazgich ichidagi maydonning nol kuchi tufayli elektr siljish vektorining integrali bo'ladi. ham nolga teng D o'tkazgichning tashqi yuzasiga to'g'ri keladigan yopiq sirt bo'ylab, ilgari o'rnatilganidek, nomlangan sirt ichidagi zaryadga teng bo'lishi kerak, ya'ni nolga teng. Bunda bunday o‘tkazgichga har qanday, o‘zboshimchalik bilan katta zaryad bera olamizmi degan savol tug‘iladi.Bu savolga javob berish uchun sirt zaryadi zichligi va tashqi elektrostatik maydon kuchi o‘rtasidagi bog‘liqlikni topamiz.

Biz "o'tkazgich-havo" chegarasini kesib o'tuvchi cheksiz kichik silindrni tanlaymiz, shunda uning o'qi vektor bo'ylab yo'naltiriladi. E . Ushbu silindrga Gauss teoremasini qo'llaymiz. O'tkazgich ichidagi maydon kuchi nolga teng bo'lganligi sababli silindrning lateral yuzasi bo'ylab elektr siljish vektorining oqimi nolga teng bo'lishi aniq. Shuning uchun vektorning umumiy oqimi D silindrning yopiq yuzasi orqali faqat uning bazasidan o'tadigan oqimga teng bo'ladi. Bu oqim, mahsulotga teng D∆S, qayerda ∆S- tayanch maydoni, umumiy zaryadga teng s∆S sirt ichida. Boshqa so'zlar bilan aytganda, D∆S = s∆S, bundan kelib chiqadi

D = s, (3.1.43)

keyin o'tkazgich yuzasida elektrostatik maydonning kuchi

E = σ /(ε 0 ε) , (3.1.44)

qayerda ε o'tkazgichni o'rab turgan muhitning (havo) o'tkazuvchanligi.

Zaryadlangan o'tkazgichning ichida maydon yo'qligi sababli, uning ichida bo'shliqning paydo bo'lishi hech narsani o'zgartirmaydi, ya'ni uning yuzasida zaryadlarning joylashuvi konfiguratsiyasiga ta'sir qilmaydi. Agar hozirda bunday bo'shliqqa ega bo'lgan o'tkazgich erga ulangan bo'lsa, u holda bo'shliqning barcha nuqtalarida potentsial nolga teng bo'ladi. Bunga asoslanib elektrostatik himoya o'lchash asboblari tashqi elektrostatik maydonlarning ta'siridan.

Endi boshqa o'tkazgichlardan, boshqa zaryadlardan va jismlardan uzoqda joylashgan o'tkazgichni ko'rib chiqing. Yuqorida aytib o'tganimizdek, o'tkazgichning potentsiali uning zaryadiga proportsionaldir. Empirik tarzda o'tkazgichlar yasalganligi aniqlandi turli materiallar, bir xil zaryadga zaryadlangan, turli potentsiallarga ega φ . Aksincha, bir xil potentsialga ega bo'lgan turli materiallarning o'tkazgichlari turli xil zaryadlarga ega. Shuning uchun biz buni yozishimiz mumkin Q = Cph, qayerda

C = Q/ph (3.1.45)

chaqirdi elektr quvvati(yoki oddiygina sig'im) yakka o'tkazgichning. Elektr quvvatining o'lchov birligi farad (F), 1 F - bunday yolg'iz o'tkazgichning sig'imi, unga 1 C ga teng zaryad berilganda uning potentsiali 1 V ga o'zgaradi.

Chunki, ilgari aniqlanganidek, radiusli to'pning potentsiali R o'tkazuvchanlikka ega dielektrik muhitda ε

ph =(1/4πe 0)Q/ER, (3.1.46)

keyin, 3.1.45 ni hisobga olgan holda, to'pning sig'imi uchun biz ifodani olamiz

C= 4pi 0 eR. (3.1.47)

3.1.47 dan kelib chiqadiki, vakuumdagi va radiusi 9 * 10 9 km bo'lgan, bu Yer radiusidan 1400 marta katta bo'lgan to'p 1 F sig'imga ega bo'ladi. Bu 1 F ning juda katta elektr quvvati ekanligini ko'rsatadi. Masalan, Yerning sig'imi atigi 0,7 mF ni tashkil qiladi. Shu sababli amalda millifaradlar (mF), mikrofaradlar (uF), nanofaradlar (nF) va hatto pikofaradlar (pF) qo'llaniladi. Keyinchalik, beri ε o'lchovsiz kattalik bo'lsa, u holda 3.1.47 dan biz elektr doimiysining o'lchamini olamiz. ε 0 – f/m.

3.1.47 ifodasida aytilishicha, o'tkazgich faqat juda katta o'lchamlarda katta sig'imga ega bo'lishi mumkin. Biroq, amalda, kichik o'lchamlari bilan nisbatan past potentsiallarda katta zaryadlarni to'plashi mumkin bo'lgan, ya'ni katta quvvatga ega bo'lgan qurilmalar talab qilinadi. Bunday qurilmalar deyiladi kondansatörler.

Yuqorida aytib o'tgan edik, agar o'tkazgich yoki dielektrik zaryadlangan o'tkazgichga yaqinlashtirilsa, ularda zaryadlar shunday induktsiya qilinadiki, kiritilgan jismning zaryadlangan o'tkazgichga eng yaqin tomonida qarama-qarshi belgili zaryadlar paydo bo'ladi. Bunday zaryadlar zaryadlangan o'tkazgich tomonidan yaratilgan maydonni zaiflashtiradi va bu uning potentsialini pasaytiradi. Keyin, 3.1.45 ga muvofiq, biz zaryadlangan o'tkazgichning sig'imini oshirish haqida gapirishimiz mumkin. Aynan shu asosda kondensatorlar yaratiladi.

Odatda kondansatör dan tashkil topgan ikkita metall qopqoq, ajratilgan dielektrik. Uning dizayni shunday bo'lishi kerakki, maydon faqat plitalar orasida to'plangan. Bu talab qondiriladi ikkita tekis plastinka, ikkita koaksiyal(bir xil o'qga ega) silindr turli diametrli va ikkita konsentrik shar. Shuning uchun bunday plitalarga qurilgan kondansatörler deyiladi tekis, silindrsimon va sharsimon. Kundalik amaliyotda dastlabki ikki turdagi kondansatkichlar ko'proq qo'llaniladi.

ostida kondansatör sig'imi jismoniy tushunish FROM , bu zaryad nisbatiga teng Q kondansatörda potentsial farqga to'plangan ( ph 1 - ph 2), ya'ni.

C = Q/(ph 1 - ph 2). (3.1.48)

Maydoni bo'lgan ikkita plastinkadan iborat bo'lgan tekis kondansatörning sig'imini toping S, bir-biridan masofa bilan ajratilgan d va ayblovlarga ega +Q va –Q. Agar d plitalarning chiziqli o'lchamlari bilan solishtirganda kichik bo'lsa, u holda chekka effektlarni e'tiborsiz qoldirish va plitalar orasidagi maydonni bir xil deb hisoblash mumkin. Chunki Q = s S, va yuqorida ko'rsatilganidek, ikkita qarama-qarshi zaryadlangan plitalar orasidagi dielektrik bilan potentsial farq ph 1 – ph 2 = (s/e 0 e)d, keyin bu ifodani 3.1.48 ga almashtirgandan keyin hosil bo‘ladi

C= e 0 eS/d. (3.1.49)

Uzunligi bo'lgan silindrsimon kondansatör uchun l va silindr radiusi r1 va r2

C = 2πe 0 el/ln(r 2 /r 1). (3.1.50)

3.1.49 va 3.1.50 ifodalari kondansatkichning sig'imini qanday oshirish mumkinligini aniq ko'rsatadi. Avvalo, plitalar orasidagi bo'shliqni to'ldirish uchun eng yuqori dielektrik o'tkazuvchanlikka ega bo'lgan materiallardan foydalanish kerak. Kondensatorning sig'imini oshirishning yana bir aniq usuli bu plitalar orasidagi masofani kamaytirishdir, ammo bu usul muhim cheklovchiga ega. – dielektrik parchalanish, ya'ni dielektrik qatlam orqali elektr zaryadsizlanishi. Kondensatorning elektr uzilishi kuzatiladigan potentsial farq deyiladi buzilish kuchlanishi. Har bir dielektrik turi uchun bu qiymat boshqacha. Yassi plitalarning maydonini va silindrsimon kondensatorlarning sig'imini oshirish uchun uzunligini oshirishga kelsak, kondansatörlarning o'lchamlari bo'yicha har doim amaliy cheklovlar mavjud, ko'pincha bu butun qurilmaning o'lchamlari bo'lib, u o'z ichiga oladi. kondansatör yoki kondansatör.

Imkoniyatlarni oshirish yoki kamaytirish imkoniyatiga ega bo'lish uchun kondensatorlarning parallel yoki ketma-ket ulanishi amaliyotda keng qo'llaniladi. Kondensatorlar parallel ravishda ulanganda, kondansatör plitalaridagi potentsial farq bir xil va teng bo'ladi ph 1 - ph 2, va ulardagi to'lovlar teng bo'ladi Q 1 \u003d C 1 (ph 1 - ph 2), Q 2 \u003d C 2 (ph 1 - ph 2), … Q n \u003d C n (ph 1 - ph 2), shuning uchun batareyaning to'liq zaryadlanishi kondansatkichlardan Q sanab o'tilgan to'lovlar yig'indisiga teng bo'ladi ∑Q i, bu o'z navbatida potentsial farqning mahsulotiga teng (ph 1 - ph 2) to'liq quvvatga S = ∑Ci. Keyin kondansatör bankining umumiy quvvati uchun biz olamiz

C \u003d Q / (ph 1 - ph 2). (3.1.51)

Boshqacha qilib aytganda, kondansatörler parallel ravishda ulanganda, kondansatör bankining umumiy sig'imi alohida kondansatkichlarning sig'imlari yig'indisiga teng bo'ladi.

Kondensatorlar ketma-ket ulanganda, plitalardagi zaryadlar mutlaq qiymatda teng bo'ladi va umumiy potentsial farq ∆ φ batareya potentsial farqlar yig'indisiga teng ∆ ph 1 individual kondansatkichlarning terminallarida. Chunki har bir kondansatör uchun ∆ ph 1 \u003d Q / C i, keyin ∆ ph = Q/C =Q ∑(1/C i), biz qayerdan olamiz

1/C = ∑(1/Ci). (3.1.52)

3.1.52 ifodasi, kondansatörler batareyada ketma-ket ulanganda, alohida kondansatkichlarning sig'imlarining o'zaro nisbati yig'iladi, umumiy sig'im esa eng kichik sig'imdan kamroq bo'ladi.

Biz allaqachon elektrostatik maydon potentsial ekanligini aytdik. Bu shuni anglatadiki, bunday maydondagi har qanday zaryad potentsial energiyaga ega. Maydonda zaryadi ma'lum bo'lgan o'tkazgich bo'lsin Q, sig'im C va salohiyat φ , va biz uning zaryadini oshirishimiz kerak dQ. Buning uchun siz ishni bajarishingiz kerak dA = phdQ = Suphdph bu zaryadni cheksizlikdan o'tkazgichga o'tkazish orqali. Agar biz tanani nol potentsialdan zaryad qilishimiz kerak bo'lsa φ , keyin integralga teng bo'lgan ishni bajarishingiz kerak phudph belgilangan chegaralar doirasida. Integratsiya quyidagi tenglamani berishi aniq

LEKIN = Sph 2/2. (3.1.53)

Bu ish o'tkazgichning energiyasini oshirish uchun ketadi. Shuning uchun, elektrostatik maydondagi o'tkazgichning energiyasi uchun biz yozishimiz mumkin

V = Suph 2 /2 \u003d Q ph / 2 \u003d Q 2 / (2C). (3.1.54)

Kondensator, xuddi o'tkazgich kabi, energiyaga ham ega, uni 3.1.55 ga o'xshash formula yordamida hisoblash mumkin.

W= S(∆ph) 2 /2 = Q∆ph/2 = Q 2 /(2C), (3.1.55)

qayerda ∆φ – kondansatör plitalari orasidagi potentsial farq, Q uning zaryadidir va FROM- sig'im.

3.1.55 dagi 3.1.49 sig‘im ifodasini almashtiring ( C= e 0 eS/d) va potentsial farqni hisobga olish ∆ph = Ed, olamiz

W = (e 0 eS/d)(Ed 2)/2 = e 0 eE 2 V/2, (3.1.56)

qayerda V=Sd. 3.1.56 tenglama kondensatorning energiyasi elektrostatik maydonning kuchi bilan aniqlanishini ko'rsatadi. 3.1.56 tenglama elektrostatik maydonning hajmli zichligi ifodasini beradi

w = W/V = e 0 eE 2 /2. (3.1.57)

test savollari

1. Zaryadlangan o'tkazgich yaqinida elektr zaryadlari qayerda joylashgan?

2. Zaryadlangan o'tkazgich ichidagi elektrostatik maydonning kuchi qanday?

3. Zaryadlangan o'tkazgich yuzasi yaqinidagi elektrostatik maydonning kuchini nima aniqlaydi?

4. Qurilmalarni tashqi elektrostatik shovqinlardan himoya qilish qanday ta'minlanadi?

5. O'tkazgichning elektr sig'imi nima va uning o'lchov birligi nima?

6. Qanday qurilmalarga kondansatkichlar deyiladi? Kondensatorlarning qanday turlari mavjud?

7. Kondensatorning sig'imi deganda nima tushuniladi?

8. Kondensator sig'imini oshirish usullari qanday?

9. Kondensatorning ishdan chiqishi va uzilish kuchlanishi nima?

10. Kondensatorlar parallel ulanganda kondensatorlar bankining sig'imi qanday hisoblanadi?

11. Kondensatorlar ketma-ket ulanganda kondensatorlar bankining sig'imi qanday bo'ladi?

12. Kondensatorning energiyasi qanday hisoblanadi?

Bu nisbatga son jihatdan teng jismoniy miqdor potentsial energiya ushbu jildga hajm elementiga kiritilgan maydon. Yagona maydon uchun hajm energiya zichligi teng. Hajmi Sd bo'lgan tekis kondansatör uchun, bu erda S - plitalarning maydoni, d - plitalar orasidagi masofa, bizda

Shuni hisobga olib

RC sxemasi- kondansatör va rezistordan tashkil topgan elektr zanjiri. Bu farqlash va integratsiyadir. Rezistor va kondansatkichning bunday ulanishi deyiladi differensiallash sxemasi yoki zanjirni qisqartirish.

RC pallasining kirishiga kuchlanish impulsi qo'llanilganda, kondansatör darhol o'zidan va rezistordan o'tadigan oqim tomonidan zaryadlana boshlaydi. Dastlab, oqim maksimal bo'ladi, keyin kondansatkichning zaryadi ortib borishi bilan u asta-sekin eksponent ravishda nolga kamayadi. Rezistor orqali oqim o'tganda, uning bo'ylab kuchlanish pasayishi rivojlanadi, bu shunday ta'riflanadi U=i R, bu erda i - kondansatkichning zaryad oqimi. Oqim eksponent tarzda o'zgarganligi sababli, kuchlanish ham maksimaldan nolga o'zgaradi. Rezistordagi kuchlanishning pasayishi, xuddi shunday, chiqish. Uning qiymati formula bo'yicha aniqlanishi mumkin U chiqib \u003d U 0 e -t / t. Qiymat τ chaqirdi zanjir vaqti doimiysi va chiqish kuchlanishining asl nusxaning 63% ga o'zgarishiga to'g'ri keladi (e -1 = 0,37). Shubhasiz, chiqish kuchlanishini o'zgartirish vaqti rezistorning qarshiligiga va kondansatkichning sig'imiga bog'liq va shunga mos ravishda kontaktlarning zanglashiga olib keladigan vaqt doimiysi bu qiymatlarga mutanosibdir, ya'ni. t=RC. Agar sig'im Faradlarda bo'lsa, qarshilik Ohmda, keyin t soniyalarda bo'ladi.

Agar a rezistor va kondansatkichni almashtiramiz, biz olamiz integrallash sxemasi yoki uzaytirish zanjiri.

Integratsiyalash pallasida chiqish kuchlanishi kondansatkichdagi kuchlanishdir. Tabiiyki, agar kondansatör zaryadsizlangan bo'lsa, u nolga teng. Zanjirning kirish qismiga kuchlanish impulsi qo'llanilganda, kondansatör zaryadni to'plashni boshlaydi va to'planish mos ravishda eksponensial qonunga muvofiq sodir bo'ladi va undagi kuchlanish noldan maksimal qiymatgacha eksponent ravishda ortadi. Uning qiymati formula bo'yicha aniqlanishi mumkin U chiqib \u003d U 0 (1 - e -t / t). O'chirish vaqti konstantasi differensiallash sxemasi bilan bir xil formula bilan aniqlanadi va bir xil ma'noga ega.

Ikkala davr uchun qarshilik kondensatorning zaryad oqimini cheklaydi, shuning uchun uning qarshiligi qanchalik katta bo'lsa, kondansatkichning zaryadlash vaqti shunchalik uzoq bo'ladi. Bundan tashqari, kondansatör uchun sig'im qanchalik katta bo'lsa, zaryadlash uchun qancha vaqt kerak bo'ladi.

Elektr toki: turlari

D.C

To'g'ridan-to'g'ri oqim - yo'nalishi bo'yicha vaqt o'zgarmaydigan elektr toki. Doimiy oqim manbalari galvanik xujayralar, batareyalar va doimiy oqim generatorlaridir.

O'zgaruvchan tok

O'zgaruvchan tok - vaqt o'tishi bilan kattaligi va yo'nalishi o'zgarib turadigan elektr toki. O'zgaruvchan tokning ko'lami to'g'ridan-to'g'ri oqimdan ancha kengroq. Buning sababi shundaki, o'zgaruvchan tok kuchlanishini deyarli hamma joyda transformator yordamida osongina oshirish yoki tushirish mumkin. O'zgaruvchan tokni uzoq masofalarga tashish osonroq.